ニュートン法とは？
ニュートン法（Newton’s Method）は、数式の「解」をコンピュータで求めるためのテクニックです。
「この方程式の答えって何だろう？」というときに、近似的（きんじてき）に答えを計算で求める方法です。簡単に説明すると、正解が「1.41ぐらい」だったとしても、最初に「1.5かな？」と予想して、何回か計算していくと「1.45 → 1.42 → 1.414」みたいにどんどん近づいていきます。
たとえば、次のような式： x2−2=0x^2 – 2 = 0x2−2=0
これは、「x の 2 乗が 2 になる x は？」という問題です。
これを手で正確に解くのは難しいですが、ニュートン法を使えば、コンピュータがだんだん正解に近づけるように計算してくれます。
ニュートン法の考え方
ニュートン法では、関数 f(x)f(x)f(x) の「根（こん）＝ f(x) = 0 になる x」を見つけたいときに使います。
- 最初に「これが解っぽいな」という初期値 x0x_0x0 を決めます。
- 次の式を使って、新しい値 x1x_1x1、x2x_2x2、…を計算していきます：
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)x_{n+1} = x_n – \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}xn+1=xn−f′(xn)f(xn)
ここで、
- f(x)f(x)f(x)：調べたい関数
- f′(x)f'(x)f′(x)：その導関数（微分）
この式を何回もくり返すと、解にどんどん近づいていきます。
具体例：√2 を求めてみる
関数 f(x)=x2−2f(x) = x^2 – 2f(x)=x2−2 の解（= √2）を求めたいとき、
導関数は f′(x)=2xf'(x) = 2xf′(x)=2x なので、ニュートン法の式はこうなります： xn+1=xn−xn2−22xnx_{n+1} = x_n – \frac{x_n^2 – 2}{2x_n}xn+1=xn−2xnxn2−2
たとえば初期値 x0=1.5x_0 = 1.5×0=1.5 とすると：
- x1=1.5−1.52−22⋅1.5=1.4167x_1 = 1.5 – \frac{1.5^2 – 2}{2 \cdot 1.5} = 1.4167×1=1.5−2⋅1.51.52−2=1.4167
- x2=1.4167−⋯=1.4142x_2 = 1.4167 – \cdots = 1.4142×2=1.4167−⋯=1.4142
- …と続けていくと、√2（約 1.4142）に近づきます。
プログラミングでの活用
ニュートン法は、数値解析の基本として、さまざまなプログラミング言語（Python、C、Javaなど）で使われています。
特に次のような分野でよく登場します：
- グラフの交点を求める
- 最適化（機械学習、AIなど）
- 工学シミュレーション
ニュートン法のざっくり手順
- まず「これが答えかな？」という数字を決めます（これを「初期値」といいます）
- 決められた式にあてはめて、新しい数字を出します
- 答えに近づくまで何回もくり返します
たとえば「x² = 2」の答えを探すときはこんなふうになります：
- 初めの予想は「1.5」
- 式にあてはめて「1.42」
- もう一度やって「1.414」
- …だんだん正解に近づく！
ニュートン法のメリットとデメリット
メリット：
- 計算が速い（収束が速い）
- シンプルな式で使いやすい
- 精度が高い（正解にかなり近づける）
デメリット：
- 初期値が悪いと失敗することがある
- 導関数（微分）を求められないと使えない
- ある条件で「振動したり発散したり」する
まとめ
「だいたいの答え」からスタートし、徐々に「真の答え」に近づけるニュートン法は、「関数の解」を見つけるための強力な計算方法です。
高校数学の「関数」「微分」などがベースになっていますが、プログラムにすれば自動でどんどん解に近づいていきます。
プログラミング・AI・ロボット・ゲームの中ではよく使われているため、もし今後、Pythonや機械学習を学ぶ機会があるなら、この方法を知っておくととても役立ちます！
